Se sabe que los número π y e son trascendentes (véase “Tipos de números” en esta web).
Se sabe que al menos uno de los números π+e o π.e es trascendente pero no cual.
Tampoco se sabe si π elevado a π es trascendente
Sí sabemos que el número e elevado a π es trascendente, según demostraron en el siglo XX Alexandr Gelfond y Theodor Schneider,
En cambio de π elevado al número e ni siquiera se sabe si es racional o irracional.
Tampoco se sabe si π+e y π/e son irracionales y, que si fuesen algebraicos (cosa no demostrada) los polinomios que los tuviesen por soluciones deberían ser al menos de grado 8 con coeficientes de aproximadamente 9 cifras cada uno de media.
Los números π y e están relacionados por varia fórmulas, entre las más llamativas están:
πe < eπ
π.e2 = eπ
(π2 + e2) / (π3-e3) = π/2
(ππ/2+ee/2)1/2= π
eπ = 1 + π/1! + π2/2! + π3/3! + …
Pero la fórmula que quizás más hipnotiza a los matemáticos sea
eiπ + 1 = 0
Se la debemos a Euler y proveniente del campo de la función exponencial y los números complejos, reúne de una forma muy elegante las 5 constantes probablemente más notables y utilizadas en matemáticas. Está considerada la fórmula más bella de esta ciencia.
Otra fórmula que une los campos real y complejo es ii = e-π/2
