El teorema de π-tágoras

a^π + b^π ¿? c^π

En otra entrada de esta web hemos hablado de Pi y el teorema de Pitágoras, en el que se manejan solo números elevados al cuadrado. ¿Qué tal si ahora el exponente fuese π?

Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa c, ¿Qué relación habrá entre a^π, b^π y c^π ?

Ya Fermat afirmó, en el siglo XVII, que cⁿ = aⁿ + bⁿ siendo a,b,c y n número enteros solo es posible verificarla para ternas pitagóricas, es decir para a, b y c  lados de un triángulo rectángulo y n=2; hecho que fue demostrado a finales del siglo XX por Adrew Wiles.

Vamos a demostrar aquí, que si   a² + b² = c²   entonces   a^π + b^π < c^π  para cualesquiera a, b y c número reales positivos (es decir, sin restringir a solo ternas pitagóricas de números enteros)

No os asustéis, que la demostración es muy facilita, solo basta seguirla paso a paso despacito

1. En el triángulo rectángulo se da que  
   a < c    y   b < c  
2. por tanto
   a/c  < 1   y   b/c  < 1                 
3. por lo que, como π es mayor que 2
   (a/c)^π < (a/c)²    y   (b/c)^π < (b/c)² 
4. y sumando ambas desigualdades
   (a/c)^π + (b/c)^π  <  (a/c)² + (b/c)²  = a²/c² + b²/c² = (a²+b²)/c² = 1  
5. por tanto
   (a/c)^π + (b/c)^π  < 1   
6. es decir
   a^π/c^π  +  b^π/c^π  < 1  
7. basta multiplicar por c^π para tener
   a^π + b^π  <  c^π

Con lo que hemos demostrado nuestro particular teorema de π-tágoras